105度という角度は、コンパスと定規のみを使って作図できる角度のひとつです。
分度器を使えばすぐに角度を測定・描画できますが、幾何学的な作図では定規とコンパスだけで任意の角度を構成する技術が求められます。
この記事では、105度を作図するための具体的な手順と、その背景にある角度の分解方法について詳しく解説します。
105度は「60度＋45度」として作図できる！
それではまず、105度を作図するための基本的な考え方から解説していきます。
105度＝60度＋45度として分解して作図するのが最もシンプルな方法です。
コンパスと定規で作図できる基本角度には60度・90度・45度・30度・120度などがあります。
105度の作図の基本方針
105 ＝ 60 ＋ 45（基本角度の和）
または 105 ＝ 90 ＋ 15（90度に15度を加える方法）
または 105 ＝ 120 − 15（120度から15度を引く方法）
最も手順が少なくシンプルなのは「60度＋45度」の方法です。
コンパスと定規で105度を作図する手順！
続いては、実際のコンパスと定規を使った105度の作図手順を確認していきましょう。
ステップ1：60度の角を作図する
まず基準となる直線を引き、その上に点Oを取ります。
点Oを中心に適当な半径の円弧を描き、直線との交点をAとします。
次に点Aを中心に同じ半径で円弧を描き、最初の円弧との交点をBとします。
直線OAとOBがなす角∠AOB＝60度となります。
60度作図の原理：
正三角形の内角は60度
コンパスで等辺三角形を描くことで60度が得られる
ステップ2：45度の角を追加して作図する
次に60度の角の辺OB上にさらに45度を加えます。
45度を作図するには、まず90度（直角）を作図し、それを二等分します。
90度の二等分角＝45度が得られるため、OBから45度を開いた方向に新たな点Cを取ります。
角∠AOC＝60＋45＝105度が完成します。
45度作図の手順（簡略）：
① 任意の点から直角（90度）を作図する
② 角の二等分線を引いて45度を得る
③ 60度角の上に45度を重ねる
角の二等分線の作図方法
角の二等分線は、コンパスを使った「等距離点の作図」によって求めます。
角の頂点Oから円弧を描き、2辺との交点P、Qを取ります。
P、Qからそれぞれ同じ半径で円弧を描き、その交点Rを求めます。
OR が角の二等分線となり、この手法で90度を二等分すれば45度が得られます。
分度器を使った105度の作図方法も解説！
続いては、分度器を使ったシンプルな105度の描き方も確認していきましょう。
分度器で105度を測って描く手順
分度器を使った作図は最も直感的な方法です。
まず定規で基準となる直線を引き、角の頂点Oを決めます。
分度器の中心をOに合わせ、0度の目盛りを基準の直線（辺）に合わせます。
分度器の105度の目盛りに印をつけ、頂点Oとその印を結ぶ直線を引きます。
これで105度の角が完成します。
分度器作図の注意点：
内側の目盛りと外側の目盛りを間違えないよう注意する
0度の基準線が分度器の底辺とぴったり合っているか確認する
105度は内側目盛りの105、または外側の75（補角）に注意する
105度の関連角度と幾何学的な性質
105度に関連する重要な角度も整理しておきましょう。
| 関連角度 | 説明 |
|---|---|
| 75度 | 105度の補角（105＋75＝180） |
| 255度 | 105度の優角（105＋255＝360） |
| 60度 | 105度の構成要素のひとつ |
| 45度 | 105度の構成要素のひとつ |
| 90度 | 直角（105度との差は15度） |
105度は鈍角（90度を超え180度未満の角）に分類されます。
鈍角三角形の一角として105度が含まれる場合、残りの2角の和は75度となります。
三角関数と105度の値
高校数学では105度の三角関数値が問われることもあります。
加法定理を使うと sin105° ＝ sin(60°＋45°) ＝ sin60°cos45°＋cos60°sin45° として計算できます。
sin105°＝sin(60°＋45°)
＝(√3/2)×(√2/2)＋(1/2)×(√2/2)
＝(√6＋√2)/4 ≒ 0.9659
cos105°＝cos(60°＋45°)＝(√2−√6)/4 ≒ −0.2588
このような三角関数の値は、物理や工学の計算でも活用されるでしょう。
まとめ：105度の作図は「60度＋45度」の組み合わせで完成！
この記事では、105度の作図方法と角度に関する幾何学的な知識を解説しました。
コンパスと定規による作図では、105度＝60度＋45度という分解を活用するのが最もシンプルな方法です。
分度器を使う場合は、基準線を正確に合わせ、105度の目盛りを丁寧に読み取ることが大切です。
三角関数を含む高校数学でも105度は登場するため、加法定理を使った値の計算方法も覚えておくと役立つでしょう。
幾何学の基礎を深めるためにも、角度作図の手順をしっかりマスターしてください。
